An NTC thermistor approximation function

An NTC thermistor approximation function
NTC サーミスタの近似関数

2010年11月18日
細田隆之

　測温用の NTC サーミスタ (Negitive Temperature Coefficiet thermistor) の特性は一般的に 25 ℃の時の抵抗値 R₂₅ といわゆる B 定数で表されることが多いのですが、B 定数による近似式では 25 ℃から離れるに従い誤差が増大します。これを３係数の近似式にすることにより、抵抗値の中央値に対して全温度範囲で、例えば誤差 ±0.2 ℃ 以内に近似することができます。

B 定数による近似

市販の NTC サーミスタでは、近似式用のいわゆる B 定数が特性値としてデータシートに記載されています。例えば、村田製作所の 1.0×0.5mm サイズの高精度 NTC サーミスタ NCP15XH103D03RC のカタログ値では R₂₅ = 10 KΩ±1%, B(25/50℃) = 3380±0.7%, B(25/100℃)(typ.) = 3455 となっています。
B 定数による NTC サーミスタの近似式
$T_\mathrm{C} \approx \frac{1}{ \displaystyle\frac{1}{273.15 + T_\mathrm{n}} + \frac{1}{B} \ln\left(\frac{R_T}{R_\mathrm{n}}\right)} - 273.15$ … (1)

B : Device specific oefficient [K]
T_C : Chip temperature [°C]
T_n : Nominal temperature [°C]
R_n : Nominal resistance at T_n [Ω]
R_T : Resistance at T_C [Ω]
B 定数１つだけによる近似では、その定数を決めた温度範囲以外では誤差が大きくなります。また、誤差と温度範囲はトレードオフの関係になり、近似温度範囲を広くとると誤差は大きくなります。 fig.1 Reference : Simple approximation 参照。

fig.1 NTC サーミスタの中央値に対する近似誤差

３係数による近似

B 定数だけを用いた指数関数近似では、非線形な NTC サーミスタの温度特性を使用温度範囲全域において精度よく近似することはできません。しかしその誤差が２次関数的であることに着目して、下記の式 (2) に示されるピュイズー級数 (Puisux series) 的な近似の補正を行うことにより、全使用温度範囲において誤差の少ない近似を行うことが出来ました。fig.1 参照。
３係数による NTC サーミスタの近似式
$T_\mathrm{C} \approx T_{\mathrm{n}} + c \left( - 1 + \sqrt{1 + a \left( - 1 + \displaystyle\frac{1}{1 + b \ln\left(\displaystyle\frac{R_T}{R_\mathrm{n}\right)}\right)}}\right)$ … (2)

a : Device specific oefficient
b : Device specific oefficient
c : Device specific oefficient [K]
T_C : Chip temperature [°C]
T_n : Nominal temperature [°C]
R_n : Nominal resistance at T_n [Ω]
R_T : Resistance at T_C [Ω]

３係数の近似式における部品依存の係数 a, b, c は、指定した温度範囲における誤差の絶対値が各々の部品に中央値に対して最も少なくなるようにコンピュータのプログラムを用いて求めています。例えば先の NCP15XH103D03RC に対しては、
a = 0.382030
b = 0.0822526
c = 1695.3664

を用いています。この場合、-40 ～ +125 ℃ の温度範囲において ± 0.044 ℃ 以内の近似誤差が得られています。

結論

上に述べた３係数による NTC サーミスタの近似式を使うことで、 2010～2022 年現在においてポピュラーな多くの NTC サーミスタにおいて、その中央値に対して、例えば -40 ～ +125 ℃の全温度範囲で ± 0.2 ℃ 以内の近似誤差が得られました。先に述べた高精度サーミスタにおいては、抵抗温度特性表からの表引きや補完によらず、計算によって抵抗値から温度が全温度範囲で ± 0.044 ℃ 以内といった低い近似誤差で求めることができているため、温度計測を伴う装置の高度化に貢献できることが期待されます。

追補 — ３係数による近似を用いた NTC サーミスタの抵抗値→温度変換例

NTC thermistor

R_T : Resistance [Ω]

T_C : Chip temperature ≈ ± [°C]

For coefficients of other NTC thermistors,
Download ntc2tc.js — javascript source code

追補 — NTC サーミスタのレシオ・メトリック構成

NTC サーミスタで温度を測るときに抵抗値を直接測らず、基準電圧をサーミスタと固定抵抗で分圧して、その分圧比としてサーミスタの値を測る、レシオ・メトリック動作で測ると基準電圧の絶対精度の影響を受けずに済みます。このとき、固定抵抗にサーミスタの 25 ℃での値と同じ抵抗値のものを使うと 25 ℃を中心にした対数の有理近似となり 25℃を中心にリニアライズされます。 NCP15XH103F の場合、フルスケールの 3/4 程に -25 ～ 85 ℃ の計測値が収まることになります。逆に考えるとサーミスタが断線や短絡した場合には異常として検知することが出来るとも言えます。
fig.2 レシオメトリック構成の NTC サーミスタ (Murata, NCP15XH103F) の温度と 12-bit ADC 読み取り値

参考文献

NCP15XH103D03RC 抵抗温度特性表 — 村田製作所サーミスタ（温度センサ）
細田隆之, "私の部品箱［8］高精度ＮＴＣサーミスタ NCP15XH103F03RC", トランジスタ技術 2012 年 7 月号 p.222, ＣＱ出版社

履歴

2022年 1月19日加筆
2023年 4月 5日加筆

NTC thermistor
R_T : Resistance	[Ω]
T_C : Chip temperature ≈	± [°C]

B 定数による近似

３係数による近似

結論

追補 — ３係数による近似を用いた NTC サーミスタの抵抗値→温度変換例

追補 — NTC サーミスタのレシオ・メトリック構成

参考文献

履歴

関連項目