パデ近似(Padé approximation)

パデ近似(Padé approximation)

ある有理関数のべき級数展開が、あるべき級数の最大次数まで一致するとき、それはパデ近似と呼ばれる。


                a₀ + a₁ x + a₂ x² + ... + a_m x^m 
R{m, n}(x) = -------------------------------
              1 + b₁ x + b₂ x² + ... + b_n x^m

f(x) = c₀ + c₁ x + c₂ x² + ... + c_m x^k

として、


R(0) = f(0)

 d ^k               d ^k
---- R(x) |_{x = 0} = ---- f(x) |_{x = 0} ,  k = 1, 2, ..., m + n
d x^k              d x^k

が成り立つならば、R(x) は f(x) のパデ近似と呼ばれる。別の言い方をすれば、
「f(x) と R(x) の x = x₀ でのテーラー級数(Taylor series) が m + n 次の項まで一致するならば」
とも言える。

【例】

R{1, 1}(x) = (a + b x) / (c + d x)

として、

f(x) = ln(1 + x) / x = 1 - x / 2 + x² / 3 - x³ / 4 + …

の a, b, c, d の値を未定係数として求める。

R{1, 1}(0) = f(0) = 1

より、

a / c = 1
↓
a = c

であるので、

R'{1, 1}(0) = f'(0) = -1 / 2

(b c - a d) / c² = (b - d) / c = -1 / 2
↓
b = (2d - c) / 2

それから、また、

R''{1, 1}(0) = f''(0) = 2 / 3

2 ( a d² - b c d) / c³ = 2 / 3
↓
b = c / 6
d = 2c / 3

全ての係数が整数になるように c = 6 に選ぶと、

a = c = 6
b = c / 6 = 1
d = 2 c / 3 = 4

R{1, 1}(x) = (6 + x) / (6 + 4 x)

こうして得られたパデ近似と、もとのべき級数近似の様子を Fig.1 に示す。

Fig.1 ln(1 + x) / x とその近似

べき級数による近似は x が大きいところで発散しているが、パデ近似は x が大きいところでも良い近似になっている。