π の分数近似

無理数の分数近似

円周率 π

円周率 π 値は 東京大学 金田研究室 が1999年に2061億5843万桁の計算記録を樹立していますが、 古くは π の分数近似値 355/113 を 宗時代の祖冲之(Zu Chongzhi)が得ているそうです。

最も簡単な π の分数近似 22/7 は US gallon の 231 立方インチの元 になっています。

なにかと便利なので、もう少しましな多桁の分数近似を求めてみました。

オイラーの数（自然体数の底）e

オイラーの数（自然体数の底） e も求めてみました。

e のついでに、ln(10) も求めてみました。

連分数による近似

/* fract - fractional approximation program
 * Rev.1.05 (May 18 2026), (c) 2008, Takayuki HOSODA.
 * SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause
 * http://www.finetune.co.jp/~lyuka/
 */

config("display", 20)
config("mode", "real")
config("epsilon", 1e-50)

define fract(x, err)
{
    local a, c, d, e, n, t;
    local i, j;
    local mat m[100];

    c = a = abs(x);
    printf("#fractional approximation for\n", a);
    printf("#order\tcoefficients\tnumerator\tdenominator\terror\n");
    i = 0;
    e = 1;
    do {
        m[i] = floor(c);
        if (m[i] != 0) {
            n = 1;
            d = 0;
            for (j = i; j >= 0; j--){
                t = n;
                n = n * m[j] + d;
                d = t;
            }
            e = abs(a * d / n - 1); 
            printf("%d\t%d\t%d\t%d\t%e\n", i, m[i], n, d, e);
        }
        c -= m[i];
        if ((c == 0) || (e < err))
            break;
        c = 1 / c;
    } while (++i < 100);
}

fract(pi(), 1e-20)
quit

Appendix— ワインと π の分数近似

ある日、カリフォルニア在住の友人との Napa のワインの話しをした。
カリフォルニアでは自家用ワインなら年間 200 ガロンまで造っていいらしい。

と調べてみると、1 gallon = 直径7" × 高さ6" と決まっていたのを アン女王 の時代に π の分数近似 22 / 7 で置き換えたかららしい。
近似で増える分は 天使の取り分^*1 にしておこう :-)

π r² ≈ 22 / 7 × (7/2)² × 6 = 231

なんか幸せな数字だ。

キューブなら 中国人剰余定理^*2 を使って各辺の余りで 231 までの数が全て表せるじゃあないか！ いや、液体は積めないか…
ともあれワインは命の水—eau de vie、みんなに幸せが訪れますように ;-)

関連項目

• グレゴリオ歴とバイナリ歴